解名缰 鸟倦飞

标准正态分布函数的快速计算方法

2016 年 01 月 30 日 | 分类于 学习中

标准正态分布的分布函数 $\Phi(x)$ 可以说是统计计算中非常重要的一个函数,基本上有正态分布的地方都或多或少会用上它。在一些特定的问题中,我们需要大量多次地计算这个函数的取值,比如我经常需要算正态分布与另一个随机变量之和的分布,这时候就需要用到数值积分,而被积函数就包含 $\Phi(x)$。如果 $Z\sim N(0,1), X\sim f(x)$,$f$ 是 $X$ 的密度函数,那么 $Z+X$ 的分布函数就是

我们知道,$\Phi(x)$ 没有简单的显式表达式,所以它需要用一定的数值方法进行计算。在大部分的科学计算软件中,计算的精度往往是第一位的,因此其算法一般会比较复杂。当这个函数需要被计算成千上万次的时候,速度可能就成为了一个瓶颈。

当然有问题就会有对策,一种常见的做法是略微放弃一些精度,以换取更简单的计算。在大部分实际应用中,一个合理的误差大小,例如 $10^{-7}$,一般就足够了。在这篇文章中,给大家介绍两种简单的方法,它们都比R中自带的 pnorm() 更快,且误差都控制在 $10^{-7}$ 的级别。

第一种办法来自于经典参考书 Abramowitz and Stegun: Handbook of Mathematical Functions公式 26.2.17。其基本思想是把 $\Phi(x)$ 表达成正态密度函数 $\phi(x)$ 和一个有理函数的乘积。这种办法可以保证误差小于 $7.5\times 10^{-8}$,一段C++实现可以在这里找到。(代码中的常数与书中的略有区别,是因为代码是针对误差函数 $\mathrm{erf}(x)$ 编写的,它与 $\Phi(x)$ 相差一些常数)

我们来对比一下这种方法与R中 pnorm() 的速度,并验证其精度。

library(Rcpp)
sourceCpp("test_as26217.cpp")

x = seq(-6, 6, by = 1e-6)
system.time(y <- pnorm(x))
## user  system elapsed
## 1.049   0.000   1.048
system.time(asy <- r_as26217ncdf(x))
## user  system elapsed
## 0.293   0.019   0.311
max(abs(y - asy))
## [1] 6.968772e-08

可以看出,A&S 26.2.17 的速度大约是 pnorm() 的三倍,且误差也在预定的范围里,是对计算效率的一次巨大提升。

那么还有没有可能更快呢?答案是肯定的,而且你其实已经多次使用过这种方法了。怎么,不相信?看看下面这张图,你就明白了。

正态分布概率表

没错,这种更快的方法其实就是两个字:查表。它的基本想法是,我们预先计算好一系列的函数取值 $(x_i,\Phi(x_i))$,然后当我们需要计算某个点 $x_0$ 时,就找到离它最近的两个点 $x_k$ 和 $x_{k+1}$,再用线性插值的方法得到 $\Phi(x_0)$ 的近似取值:

什么?觉得这个方法太简单了?先别急,这里面还有不少学问。之前我们说了,我们需要保证这种方法的误差不超过 $\epsilon=10^{-7}$,因此就需要合理地选择预先计算的点。由于 $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$,我们暂且只需要考虑 $x$ 为正的情况。如果让 $x_i = ih,i=0,1,\ldots,N$,那么对函数 $f$ 进行线性插值的误差将不超过(来源

其中 $\Vert f’’ \Vert_{\infty}$ 是函数二阶导绝对值的最大值。对于正态分布函数来说,它等于 $\phi(1)\approx 0.242$。于是令 $E(x)=10^{-7}$,我们就可以解出 $h\approx 0.001818$。最后,只要 $x_N>5.199$,即 $N\ge 2860$ 并另所有 $x>x_N$ 的取值等于1,就可以保证整个实数域上 $\Phi(x)$ 的近似误差都不超过 $10^{-7}$。

这种简单方法的实现我放在了 Github 上,源程序和测试代码也可以在文章最后找到。下面给出它的表现:

library(Rcpp)
sourceCpp("test_fastncdf.cpp")

x = seq(-6, 6, by = 1e-6)
system.time(fasty <- r_fastncdf(x))
## user  system elapsed
## 0.043   0.024   0.066
max(abs(y - fasty))
## [1] 9.99999e-08

与之前的结果相比,相当于速度是 pnorm() 的15倍!

我们似乎一直以为,在计算机和统计软件普及以后,一些传统的做法就会慢慢被淘汰,例如现在除了考试,或许大部分的时间我们都是在用软件而不是正态概率表。从教学与实际应用的角度来看,这种做法是应该进行推广和普及的,但这也不妨碍我们从一些“旧知识”中汲取营养。关于这种大巧若拙的做法的故事还有很多,比如广为流传的这一则。在计算资源匮乏的年代,科学家们想出了各种巧妙的办法来解决他们遇到的各种问题。现如今计算机的性能已经远不是当年可以媲迹,但前人的很多智慧却依然穿透了时间来为现在的我们提供帮助,不得不说这也是一种缘分吧。

附:实现和测试源程序

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